Κεφάλαιο 4
Η πρώτη θεμελιώδης μορφή

Σύνοψη
΄Ενας από τους κεντρικούς στόχους της διαφορικής γεωμετρίας είναι η ανάπτυξη ενός αποτελεσματικού τρόπου μέτρησης της καμπυλότητας γεωμετρικών αντικειμένων τα οποία δεν είναι επίπεδα (π.χ. επιφάνειες στον χώρο ℝ³). Για τον σκοπό αυτό θα χρειαστούμε νέα εργαλεία και ένα από αυτά είναι η εισαγωγή μιας θετικά ορισμένης τετραγωνικής μορφής σε κάθε εφαπτόμενο επίπεδο μιας επιφάνειας. Με τον τρόπο αυτό θα είμαστε σε θέση να ορίσουμε μήκη καμπυλών στην επιφάνεια, μήκη και γωνίες διανυσμάτων στον εφαπτόμενο χώρο, καθώς και εμβαδά επάνω στην επιφάνεια. Οι ποσότητες αυτές αποτελούν εσωτερικές (intrinsic) ποσότητες μιας επιφάνειας, δηλαδή ο υπολογισμός τους προκύπτει από μετρήσεις επάνω στην επιφάνεια και όχι θεωρώντας την επιφάνεια ως υποσύνολο του ℝ³. Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [2], [3], [4], [5], [6].

Προαπαιτούμενη γνώση
Αναλυτική Γεωμετρία, Απειροστικός Λογισμός, Γραμμική ΄Αλγεβρα.

Ορισμός 4.1: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια του ℝ³, p ∈ M και έστω ⟨⋅,⋅⟩_p το εσωτερικό γινόμενο στον εφαπτόμενο χώρο T_pM το οποίο επαγεται από το κανονικό εσωτερικό γινόμενο ⟨⋅,⋅⟩ του ℝ³. Η πρώτη θεμελιώδης μορφή (first fundmental form) είναι η (θετικά ορισμένη) τετραγωνική μορφή

+ 2 Ip : TpM → ℝ , Ip(Z ) = ⟨Z,Z ⟩p = ∥Z∥ .

Θυμίζουμε από τη γραμμική άλγεβρα τα εξής: ΄Εστω V ένας διανυσματικός χώρος. Μια διγραμμική μορφή στον V είναι μια απεικόνιση f : V × V → ℝ τέτοια ώστε f(λ₁u₁ + λ₂u₂,u) = λ₁f(u₁,u) +λ₂f(u₂,u) και f(u,λ₁u₁ + λ₂u₂) = λ₁f(u,u₁) +λ₂f(u,u₂), για κάθε λ₁,λ₂ ∈ ℝ και u₁,u₂,u ∈ V . Η διγραμμική μορφή f λέγεται συμμετρική, εάν ισχύει f(u,υ) = f(υ,u) για κάθε u,υ ∈ V . Μια συνάρτηση Q : V → ℝ καλείται τετραγωνική μορφή εάν μπορεί να γραφτεί στη μορφή Q(u) = f(u,u), για κάποια συμμετρική διγραμμική μορφή f : V × V → ℝ.

Παρατηρήσεις.

Από εδώ και στο εξής θα γράφουμε ⟨⋅,⋅⟩ για το επαγόμενο εσωτερικό γινόμενο του ℝ³ στον T_pM, αντί ⟨⋅,⋅⟩_p.
Η πρώτη θεμελιώδης μορφή καθορίζει πλήρως (αποδείξτε το) το εσωτερικό γινόμενο ⟨⋅,⋅⟩_p στον T_pM, μέσω της ταυτότητας πολικότητας: $⟨Z,W ⟩p = 1-(Ip(Z + W )- Ip(Z)- Ip(W )), για κάθε Z,W ∈ TpM. 2$
Οι ιδιότητες μιας επιφάνειας οι οποίες εξαρτώνται μόνο από την πρώτη θεμελιώδη μορφή ονομάζονται εσωτερικές ιδιότητες της επιφάνειας.

Η πρώτη θεμελιώδης μορφή μάς επιτρέπει να ορίσουμε το μήκος μιας καμπύλης σε μια επιφάνεια.

Ορισμός 4.2: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια και γ : I → M μια καμπύλη κλάσης C¹. Το μήκος της γ ορίζεται ως

∫ ∘ ----------- L(γ) = ⟨γ ′(t),γ ′(t)⟩dt. I

Επιπλέον, μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση απόστασης d στην M, ώστε το ζεύγος (M,d) να είναι ένας μετρικός χώρος (metric space).

Πρόταση 4.1: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια και p,q δύο σημεία της M. Θεωρούμε το σύνολο C_pq όλων των καμπυλών γ : [0,1] → M κλάσης C¹ με την ιδιότητα γ(0) = p,γ(1) = q. Ορίζουμε τη συνάρτηση

+ d : M × M → ℝ 0 , d(p,q) = inf{L (γ) : γ ∈ Cpq}.

Τότε το σύνολο (M,d) είναι ένας μετρικός χώρος, δηλαδή για κάθε p,q,r ∈ M ισχύουν τα εξής:

i. d(p,q) ≥ 0
ii. d(p,q) = 0 ⇔ p = q
iii. d(p,q) = d(q,p)
iv. d(p,q) ≤ d(p,r) + d(r,q).

Για κάθε λοιπόν επιφάνεια M έχουμε ορίσει σε κάθε εφαπτόμενο χώρο T_pM (p ∈ M) ένα εσωτερικό γινόμενο, το οποίο επάγεται από το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο του ℝ³. Το εσωτερικό αυτό γινόμενο μεταβάλλεται με την επιλογή του σημείου p (άρα και την επιλογή του εφαπτόμενου χώρου T_pM). Προκειμένου να ποσοτικοποιήσουμε αυτή τη μεταβολή, θα χρησιμοποιήσουμε μια τοπική παραμέτρηση της επιφάνειας και θα ορίσουμε κάποιες σημαντικές συναρτήσεις, τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης.

΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια και X : U ⊂ ℝ² → M ⊂ ℝ³ μια τοπική παραμέτρηση της M. Τότε σε κάθε σημείο p = X(u,υ) ≡ X(q) ∈ X(U) ο εφαπτόμενος χώρος T_pMT_X(u,υ)X(U) παράγεται από τα διανύσματα X_u(u,υ),X_υ(u,υ). Θα δούμε στη συνέχεια πώς εκφράζεται η πρώτη θεμελιώδης μορφή σε αυτή τη βάση. ΄Εστω w ∈ T_pM. Τότε w = λ₁X_u(q) + λ₂X_υ(q), άρα

⟨w,w ⟩ = λ21⟨Xu (q),Xu (q)⟩+ 2λ1λ2⟨Xu (q),Xv(q)⟩+ λ22⟨Xv (q),Xv (q)⟩.

Θέτουμε

E(q) = ⟨X (q),X (q)⟩ = ∥X (q)∥2, F (q) = ⟨X (q),X (q)⟩, G (q) = ⟨X (q),X (q)⟩ = ∥X (q)∥2. u u u u v v v v

Οι ποσότητες E(q),F(q),G(q) ονομάζονται θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης της επιφάνειας M στο σημείο p. Καθώς το q ∈ U μεταβάλεται ορίζονται οι συναρτήσεις E(u,υ),F(u,υ),G(u,υ). Ειδικότερα,

Ορισμός 4.3: Οι πραγματικές (διαφορίσιμες) συναρτήσεις E,F,G : U → ℝ

E (u,v) = ⟨Xu(u,v),Xu (u,v)⟩, F (u, v) = ⟨Xu (u,v),Xv(u,v)⟩, G(u,v) = ⟨Xv(u,v),Xv (u, v)⟩

ονομάζονται θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης της επιφάνειας M για την παραμέτρηση X : U → M.

Παράδειγμα 4.1: ΄Εστω M ⊂ ℝ³ το επίπεδο του ℝ³ που διέρχεται από το σημείο p₀ ∈ ℝ³ και είναι παράλληλο με τα γραμμικώς αναξάρτητα διανύσματα -→
v1 , -→
v2 ∈ ℝ³. Μια τοπική παραμέτρηση του M δίνεται ως

X(u,v) = p0 + u-→v1 + v -→v2.

Για κάθε p ∈ M μια βάση του T_pM είναι η

X_u =

,X_υ =

, συνεπώς τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης είναι

-→ -→ -→ -→ -→ -→ E = ⟨v1,v1⟩, F = ⟨v1,v2⟩, G = ⟨v2,v2⟩.

Αν

επιλεγούν ως ορθοκανονικά διανύσματα, τότε E = G = 1,F = 0.

Παράδειγμα 4.2: ΄Εστω M ο ορθός κυκλικός κύλινδρος ακτίνας 1 και με διαμήκη άξονα τον άξονα z. Μια τοπική παραμέτρηση του M δίνεται ως

X : (0,2π)× ℝ → ℝ3, X (u,v) = (cosu,sin u,v),

από όπου προκύπτει ότι E = G = 1,F = 0.

Παρατηρήστε ότι τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης είναι τα ίδια με αυτά του επιπέδου, συμβάν όχι τυχαίο. Θα προσπαθήσουμε στη συνέχεια να εντοπίσουμε τον γεωμετρικό λόγο που συμβαίνει αυτό. ΄Ενα επίπεδο κομμάτι χαρτιού μπορεί να τυλιχθεί επάνω σε έναν κύλινδρο με τον προφανή τρόπο χωρίς να τσαλακωθεί. Εάν σχεδιάσουμε μια καμπύλη επάνω στο επίπεδο, τότε μετά το τύλιγμα γίνεται μια καμπύλη του κυλίνδρου. Επειδή δεν υπάρχει τσαλάκωμα, τα μήκη αυτών των δύο καμπυλών θα είναι ίσα. Εφόσον τα μήκη υπολογίζονται ως το ολοκλήρωμα της πρώτης θεμελιώδους μορφής, είναι εύλογο το συμπέρασμα ότι οι πρώτες θεμελιώδεις μορφές αυτών των δύο επιφανειών είναι ίσες. Από την άλλη, είναι αδύνατον να τυλίξουμε ένα επίπεδο φύλλο χαρτιού γύρω από μια σφαίρα χωρίς να το τσαλακώσουμε. Συνεπώς, αναμένουμε το επίπεδο και η σφαίρα να μην έχουν την ίδια πρώτη θεμελιώδη μορφή (όποια και να είναι η επιλογή της παραμέτρησης).

Ο ακόλουθος ορισμός δίνει με μαθηματικό τρόπο το τι σημαίνει να τυλίγουμε μια επιφάνεια επάνω σε μια άλλη χωρίς να την τσαλακώσουμε.

Ορισμός 4.4: ΄Εστω M₁ και M₂ κανονικές επιφάνειες, μια λεία απεικόνιση f : M₁ → M₂ καλείται τοπική ισομετρία εάν απεικονίζει καμπύλες της M₁ σε καμπύλες ίδιου μήκους στην M₂. Εάν υπάρχει τοπική ισομετρία f : M₁ → M₂, λέμε ότι οι επιφάνειες M₁,M₂ είναι τοπικά ισομετρικές.

Κάθε τοπική ισομετρία είναι τοπική αμφιδιαφόριση και μια τοπική ισομετρία που είναι αμφιδιαφόριση καλείται ισομετρία. Εύκολα βλέπουμε ότι οποιαδήποτε σύνθεση τοπικών ισομετριών είναι τοπική ισομετρία και η αντίστροφη κάθε τοπικής ισομετρίας είναι τοπική ισομετρία.

Ορισμός 4.5: Μια αμφιδιαφόριση ϕ : M₁ → M₂ μεταξύ δύο κανονικών επιφανειών του ℝ³ ονομάζεται ισομετρία (isometry) εάν για κάθε p ∈ M₁ το διαφορικό dϕ_p : T_pM₁ → T_ϕ(p)M₂ διατηρεί τις πρώτες θεμελιώδεις μορφές των αντίστοιχων επιφανειών, δηλαδή

⟨dϕp(Z),dϕp(W )⟩ = ⟨Z,W ⟩ για κάθε Z,W ∈ TpM1.

Στην περίπτωση αυτή οι επιφάνειες M₁,M₂ ονομάζονται ισομετρικές (isometric).

Με όρους τμημάτων επιφανειών ισχύει το εξής αποτέλεσμα

Πρόταση 4.2: Μια τοπική αμφιδιαφόριση f : M₁ → M₂ είναι τοπική ισομετρία εάν και μόνο εάν, για κάθε τμήμα επιφάνειας X₁(u,υ) της M₁, τα τμήματα X₁(u,υ) και f ∘ X₁(u,υ) των M₁ και M₂ αντίστοιχα, έχουν την ίδια πρώτη θεμελιώδη μορφή.

Παράδειγμα 4.3: ΄Εστω X : U → ℝ³ η τοπική παραμέτρηση X(u,υ) = (u,υ, -----------
√ 1- u2 - v2 ) της σφαίρας S² και p = u,υ,X(u,υ) ∈ S². Τότε μια βάση του εφαπτόμενου χώρου T_pS² είναι η

{( - u ) ( - v )} {Xu (u, v),Xv (u,v)} = 1,0,√------2---2- , 0,1, √-----2----2 , 1- u - v 1 - u - v

από όπου προκύπτει ότι

1- v2 uv 1 - u2 E = ⟨Xu, Xu⟩ = -----2----2, F = ⟨Xu, Xv ⟩ = ----2----2, G = ⟨Xv, Xv⟩ = -----2---2-. 1 - u - v 1- u - v 1 - u - v

Ας χρησιμοποιήσουμε τώρα την εξής τοπική παραμέτρηση της σφαίρας S². ΄Εστω U = {(θ,ϕ) ∈ ℝ² : 0 < θ < π,0 < ϕ < 2π} και Y : U → ℝ³ με

Y (θ,ϕ ) = (sinθ cosϕ,sin θsinϕ,cosθ).

Τότε μια βάση του εφαπτόμενου χώρου T_pS² στο σημείο p = (θ,ϕ,Y (θ,ϕ)) είναι η

{Yθ,Yϕ } = {(cosθ cosϕ,cosθ sinϕ, - sin θ),(- sinθsinϕ,sinθ cosϕ,0)},

απ′ όπου προκύπτουν τα πιο χρηστικά θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης E = 1,F = 0,G = sin²θ.

Παρατηρήσεις.

Είναι χρήσιμο και θα το κάνουμε τακτικά, να εκφράζουμε τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης ως εξής: Θεωρούμε το διαφορικό dX(u,υ) : ℝ² → ℝ³ και τον πίνακά του ως την απεικόνιση $2 t [dX ] : U ⊂ ℝ → M2 ×3(ℝ ), [dX ](u,v) = (Xu,Xv ),$ όπου A^t συμβολίζουμε τον ανάστροφο του πίνακα A. Τα διανύσματα X_u,X_υ τα θεωρούμε ως διανύσματα-στήλη, συνεπώς το δεξί μέλος παραπάνω είναι ένας πραγματικός 2 × 3 πίνακας. Τότε τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης περιγράφονται μέσω της ακόλουθης ισότητας πινάκων $( E F ) = [dX ][dX ]t. F G$ Εναλλακτικά, ο παραπάνω πίνακας στο δεξί μέλος συμβολίζεται και ως $( ) ( ) g11 g12 E F (gij)(u,v) = g21 g22 ≡ F G .$
Το επαγόμενο εσωτερικό γινόμενο ⟨⋅,⋅⟩_p στον T_pM μπορεί πλέον να εκφραστεί με χρήση των συναρτήσεων E,F,G ως εξής: ΄Εστω Z = aX_u + bX_υ,W = cX_u + dX_υ δύο διανύσματα του T_pM. Τότε
$⟨Z, W ⟩p = ⟨aXu + bXv, cXu + dXv ⟩p = ac⟨Xu,Xu ⟩p + (ad + bc)⟨Xu, Xv ⟩p + bd⟨Xv,Xv ⟩p = abE + (ad + bc)F + bdG.$

Συνεπώς, η πρώτη θεμελιώδης μορφή δίνεται ως

Ip(Z ) = E (u, v)a2 + 2F (u, v)ab + G (u, v)b2 ( ) ( ) = (a,b) E F a . (4.1) F G b

Η παραπάνω έκφραση γράφεται σε σύγχρονη γλώσσα

ds2 = Edu2 + 2F dudv + Gdv2, (**)

αλλά δεν θα επεκταθούμε εδώ στην πλήρη μαθηματικής της ερμηνεία¹. Η έκφραση (**) ορίζει μια μετρική στην περιοχή παραμέτρησης U ως εξής: Για q ∈ U ορίζουμε το εσωτερικό γινόμενο ds_q² : ℝ² × ℝ² → ℝ, με τιμή:

( ) E (q) F (q) ds2q(Z,W ) = Zt W. F (q) G (q)

Αποδεικνύεται ότι η αμφιδιαφόριση X : U → X(U) ⊂ M διατηρεί τα εσωτερικά γινόμενα ds_q² και ⟨⋅,⋅⟩_p=X(q), συνεπώς είναι μια (τοπική) ισομετρία.

Συμπέρασμα.
Η πρώτη θεμελιώδης μορφή στο (τμήμα) της επιφάνειας X(U) ⊂ M επάγει μια μετρική στο U ⊂ ℝ². Κατόπιν αυτού, όπως θα φανεί αργότερα, η κύρτωση της M επάγει τοπικά μια γεωμετρία στον ℝ² (ενδεχομένως μη Ευκλείδεια).

Μέσω των θεμελιωδών μεγεθών μπορούμε να υπολογίσουμε μήκη, γωνίες και εμβαδά πάνω σε επιφάνειες. ΄Εστω X : U → M ένα τμήμα επιφάνειας και γ : I → M μια καμπύλη επί της M, δηλαδή γ(t) = X(u(t),υ(t)) για κάθε t ∈ I. Επειδή η καμπύλη βρίσκεται επάνω στην επιφάνεια, τα εφαπτόμενα διανύσματά της γράφονται ως γραμμικός συνδυασμός των διανύσματων της βάσης του εφαπτόμενου χώρου της επιφάνειας M, {X_u,X_υ}. Ειδικότερα ισχύει

γ′(t) = Xu (u (t),v(t))u′(t)+ Xv (u (t),v(t))v′(t).

΄Αρα το μήκος της γ (Ορισμός 4.2) γράφεται συναρτήσει των E,F,G ως εξής

∫ ∘ ----------- L (γ ) = ⟨γ′(t),γ′(t)⟩dt ∫I ∘ -------------′--2----------------′---′----------------′--2 = I E (u(t),v(t))u(t) + 2F (u(t),v(t))u (t)v(t)+ G (u (t),v(t))v (t) dt.

Σε προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε ότι η γωνία δύο επιφανειακών καμπυλών γ₁,γ₂ είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζουν τα εφπτόμενα διανύσματα στο σημείο τομής αυτών. Αξίζει να σημειώσουμε εδώ πως, όταν οι καμπύλες είναι οι παραμετρικές καμπύλες γ₁(u) = X(u,υ₀), γ₂(υ) = X(u₀,υ), τότε η γωνία φ που σχηματίζουν δίνεται από τη σχέση

cosφ = ⟨Xu-(q),Xv(q)⟩-= ∘--F-(q)---- ∥Xu(q)∥∥Xv (q)∥ E(q)G (q)

όπου p = X(q) είναι το σημείο τομής των γ₁ και γ₂. Παρατηρούμε ότι οι παραμετρικές καμπύλες της παραμέτρησης X είναι ορθογώνιες εάν και μόνο εάν F(u,υ) = 0 για κάθε (u,υ) ∈ U. Σε αυτή την περίπτωση η παραμέτρηση καλείται ορθωγώνια.

Ορισμός 4.6: ΄Εστω M₁ και M₂ κανονικές επιφάνειες του ℝ³. Λέγοντες σύμμορφη απεικόνιση f : M₁ → M₂ εννοούμε μια τοπική αμφιδιαφόριση τέτοια ώστε, εάν γ₁ και ₁ είναι δύο τεμνόμενες καμπύλες της M₁ στο σημείο p ∈ M₁ και εάν γ₂ και ₂ είναι οι εικόνες τους μέσω της f, τότε η γωνία τομής των γ₁ και ₁ είναι ίση με τη γωνία τομής των γ₂ και ₂ στο σημείο f(p).

Ο παραπάνω ορισμός μάς λέει ουσιαστικά ότι η απεικόνιση f : M₁ → M₂ είναι σύμμορφη, εάν διατηρεί της γωνίες. Είναι προφανές ότι κάθε σύνθεση σύμμορφων απεικονίσεων είναι σύμμορφη και ότι η αντίστροφη κάθε σύμμορφης απεικόνισης είναι σύμμορφη απεικόνιση.

Θεώρημα 4.1: Μια τοπική αμφιδιαφόριση f : M₁ → M₂ είναι σύμμορφη εάν και μόνο εάν υπάρχει συνάρτηση λ : M₁ → ℝ τέτοια ώστε

⟨dfp(Z ),dfp(W )⟩ = λ(p)⟨Z, W ⟩, για κάθε p ∈ M1 και Z, W ∈ TpM1.

Αναδιατυπώνοντας αυτό το αποτέλεσμα με όρους τμημάτων επιφανειών παίρνουμε το εξής:

Πόρισμα 4.1: Μια αμφιδιαφόριση f : M₁ → M₂ είναι σύμμορφη, εάν και μόνο εάν, για κάθε τμήμα επιφάνειας X₁ της M₁, οι πρώτες θεμελιώδεις μορφές του X₁ και του f ∘ X₁ είναι ανάλογες.

Ειδικότερα, ένα τμήμα επιφάνειας X(u,υ) είναι σύμμορφο με επίπεδη επιφάνεια εάν και μόνο εάν η πρώτη θεμελιώδης μορφή του είναι λ(du² + dυ²) για κάποια λεία συνάρτηση λ(u,υ).

Παράδειγμα 4.4: Δίνεται η επιφάνεια με παραμέτρηση X(u,υ) = (ucosυ,usinυ,φ(υ)). Να προσδιορισθεί η συνάρτηση φ(υ), ώστε η παραμέτρηση X να είναι σύμμορφη με επίπεδο.

Για να είναι η παραμέτρηση X σύμμορφη, θα πρέπει η πρώτη θεμελιώδης μορφή της επιφάνειας να γράφεται στη μορφή

2 2 I = λ(u,v)(du + dv ).

(4.2)

΄Εχουμε X_u(u,υ) = (cosυ,sinυ,0) και X_υ(u,υ) = (-usinυ,ucosυ,φ′(υ)), οπότε

E (u,v) = ⟨Xu (u,v),Xu(u,v)⟩ = 1, F (u,v) = ⟨Xu (u,v),Xv(u,v)⟩ = 0, 2 ′ 2 G (u,v) = ⟨Xv (u,v),Xv(u,v)⟩ = u + (φ ) .

΄Αρα η πρώτη θεμελιώδης μορφή θα είναι

I = E (u,v )du2 + 2F (u,v)dudv + G(u,v)dv2 = du2 + (u2 + φ′2)dv2

(4.3)

Για να παίρνει η σχέση (4.3) τη μορφή (4.2), θα πρέπει να έχουμε προφανώς u² + φ′² = 1, ή ακόμη

∘ ------ φ′(v) = ? 1- u2,

οπότε φ(υ) = ±υ √ ------
1- u2

+ c, c ∈ ℝ, u ≤ 1.

Ορισμός 4.7: ΄Εστω M μια κανονική επιφάνεια, X : U → X(U) ⊂ M μια τοπική παραμέτρηση και έστω ότι το U είναι ῾῾μετρήσιμο᾿᾿ (measurable) υποσύνολο του ℝ². Τότε, το εμβαδό (area) του τμήματος επιφάνειας X(U) ορίζεται ως

∫ ∘ ---------------- A (X(U )) = ∥Xu (q)× Xv (q)∥dudv, q ∈ U. U

Παρατηρούμε ότι ∥X_u(q) × X_υ(q)∥² = ⟨X_u,X_u⟩⟨X_υ(q),X_υ(q)⟩-⟨X_u(q),X_υ(q)⟩² = E(q)G(q) - F²(q). Επομένως ο τύπος για το εμβαδό, χρησιμοποιώντας τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης γράφεται

∫ A(X (U)) = ∘E-(q)G-(q)--F-2(q)dudv. U

Αποδεικνύεται ότι το εμβαδό δεν εξαρτάται από την επιλογή της παραμέτρησης του τμήματος X(U) της επιφάνειας M.

Ορισμός 4.8: ΄Εστω M₁ και M₂ δύο κανονικές επιφάνειες του ℝ³. Μια τοπική αμφιδιαφόριση f : M₁ → M₂ λέγεται ισεμβαδική, εάν απεικονίζει κάθε χωρίο της M₁ σε χωρίο ίσου εμβαδού της M₂ (υποθέτουμε ότι κάθε ένα από τα χωρία είναι αρκετά μικρό, ώστε να περιέχεται στην εικόνα κάποιου τμήματος επιφάνειας).

Δίνουμε στη συνέχεια το ανάλογο του Θεωρήματος 4.1

Θεώρημα 4.2: Μια αμφιδιαφόριση f : M₁ → M₂ είναι ισεμβαδική εάν και μόνο εάν, για κάθε τμήμα επιφάνειας X(u,υ) της M₁, οι πρώτες θεμελιώδεις μορφές

E du2 + 2F dudv + G dv2, E du2 + 2F dudv + G dv2 1 1 1 2 2 2

των τμημάτων X της M₁ και f ∘ X της M₂ ικανοποιούν την σχέση

E1G1 - F 2= E2G2 - F 2. 1 2

Παράδειγμα 4.5: Το εμβαδόν του δακτυλίου T² με παραμέτρηση X(u,υ) = (R + r cosu)cosυ, (R + r cosu)sinυ, r sinu (u ∈ [0,2π),υ ∈ [0,2π)) ισούται με 4π²rR. Πράγματι, έχουμε

Xu = (- rsinu cosv,- r sin usinv,rcos u), Xv = (- (R + r cosu)sinv,(R + rcos u)cosv,0)

και E(u,υ) = r², F(u,υ) = 0, G(u,υ) = (R + r cosu)², επομένως

∫ 2π∫ 2π ∫ 2π ∫ 2π A(T2) = ∘E--(u,v)G-(u,v-)--F-2(u,v)dvdu = r(R + rcos u)dvdu 0 0 0 0 ∫ 2π = 2πr(R + r cosu)du = 4π2rR. 0

4.1 Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 4.6: ΄Εστω M μια επιφάνεια εκ περιστροφής με παραμέτρηση X(u,υ) = f(u)cosυ, f(u)sinυ,g(u). Αποδείξτε ότι οι στροφές περί τον άξονα περιστροφής της M είναι ισομετρίες της M ή ισοδύναμα, ότι διατηρούν τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης.

Λύση

Η επιφάνεια M γράφεται από την καμπύλη γ(u) =

f(u),0,g(u)

, όταν αυτή περιστρέφεται περί τον άξονα των z. Αποδεικνύεται ότι για μια τέτοια επιφάνεια ισχύει E = 1,F = 0,G = f(u)² (άσκηση). ΄Εστω R_θ μια στροφή κατά σταθερή γωνία θ περί τον άξονα των z. Τότε ως προς την κανονική βάση του ℝ³ είναι

( ) cosθ - sinθ 0 R = | sinθ cosθ 0 | , θ ( ) 0 0 1

άρα X_θ(u,υ) = (R_θ ∘ X)(u,υ) =

f(u)cos(υ + θ),f(u)sin(υ + θ),g(u)

, είναι η νέα παραμέτρηση της M μετά τη στροφή κατά γωνία θ. Για την παραμέτρηση αυτή προκύπτει ότι

2 E θ = 1,F θ = 0,G θ = f(u)

απ′ όπου προκύπτει το αποτέλεσμα.

Παράδειγμα 4.7: ΄Εστω X : U ⊂ ℝ² → X(U) ⊂ ℝ³, X(u,υ) = (u,υ,u² + υ²) μια παραμέτρηση μιας κανονικής επιφάνειας του ℝ³.

(1) Βρείτε τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης.
(2) Να γράψετε την εξίσωση της επιφάνειας σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Πώς λέγεται αυτή η επιφάνεια;
(3) Να βρεθεί το εμβαδό του τμήματος K της επιφάνειας που καθορίζεται από τις συνθήκες x,y ≥ 0 και z ∈ [0,1].

Λύση

(1) Για τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης έχουμε X_u = (1,0,2u) και X_υ = (0,1,2υ), οπότε

2 2 2 2 E (u, v) = ∥Xu ∥ = 1+ 4u , F(u,v) = ⟨Xu,Xv ⟩ = 4uv, G(u,v ) = ∥Xv ∥ = 1+ 4v .

(2) Η εξίσωση της επιφάνειας σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι: z = x² + y². Η επιφάνεια αυτή λέγεται παραβολοειδές εκ περιστροφής.
(3) Ζητάμε το εμβαδό A(K) = ∫ _U ∘E--(u,-v)G-(u,v)---F2(u,v)

dudυ, όπου

U = X -1(K ) = {(u, v) ∈ ℝ2 : 0 ≤ u2 + v2 ≤ 1,u,v ≥ 0}.

Είναι A(K) = ∫ _U √ -------------
1+ 4v2 + 4u2

dudυ. Για τον υπολογισμό αυτού του ολοκληρώματος θα χρησιμοποιήσουμε πολικές συντεταγμένες. Θέτουμε

u(ρ,θ) = ρ cosθ, v(ρ,θ) = ρsin θ, 0 ≤ θ ≤ π∕2

οπότε θα είναι

∫ 1 ∫ π∕2∘ ----------------------- D(u,v) A (K ) = 1+ 4 ρ2cos2θ + 4 ρ2sin2 θ------d θdρ, 0 0 D(ρ,θ)

(4.4)

όπου

|∂u ∂u| D (u,v) ||--- --|| ||cos θ - ρ sinθ|| ------- = ||∂ρ ∂θ|| = || || = ρcos2θ + ρsin2θ = ρ. D (ρ,θ) ||∂v- ∂v|| |sinθ ρ cosθ| ∂ρ ∂θ

Συνεπώς, η σχέση (4.4) απλουστεύεται ως εξής:

∫ 1 ∫ π∕2∘ ------- ∫ 1 ∘ ------- A(K ) = 1+ 4ρ2 ρ dθdρ = ρ 1 + 4ρ2 π ∕2dρ 0 0 0 [ 1 2 3∕2]1 π √-- = π ∕2 12-(1 + 4ρ ) = 24-(5 5 - 1). 0

Παράδειγμα 4.8: Δείξτε ότι το εμβαδόν ενός φραγμένου χωρίου U της επιφάνειας z = f(x,y) είναι

∫ ∘ ----------- A(K ) = 1+ fu + fv dudv, K

όπου K είναι η προβολή του U στο xy επίπεδο.

Λύση

Θεωρούμε την παραμέτρηση της επιφάνειας z = f(x,y) με X(u,υ) = (u,υ,f(u,υ)). ϒπολογίζουμε τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης και έχουμε

Xu = (1,0,fu), Xv = (0,1,fv),

οπότε είναι

E = ⟨Xu, Xu⟩ = 1+ fu2, F = ⟨Xu, Xv⟩ = fufv, G = ⟨Xv, Xv⟩ = 1+ fv2.

Αν K είναι η ορθογώνια προβολή του U στο xy επίπεδο, έχουμε:

∫ ∫ A(K ) = ∘E--(u,v-)G-(u,v)--F-2(u,v) dudv = ∘1-+-f-2+-f2-dudv. K K u v

Παράδειγμα 4.9: ΄Εστω X : U → ℝ³ παραμέτρηση μιας επιφάνειας με θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης

2 2 E (u,v) = 1 + v , F (u, v) = - 2uv, G (u,v) = 1 + u .

ϒπολογίστε τη γωνία ανάμεσα στις u,υ-παραμετρικές καμπύλες σε τυχαίο σημείο της επιφάνειας.

Λύση

Αν θ η γωνία που σχηματίζουν οι καμπύλες X(u,υ₀),X(u₀,υ) στο σημείο (u₀,υ₀), τότε

cosθ = -⟨Xu(u,v0),Xv-(u0,v)⟩- = ∘----F-(u0,v0)----- = ∘-------2u0v0------. ∥Xu (u,v0)∥∥Xv(u0,v)∥ E (u0,v0)G(u0,v0) 1 + u20 + v20 + u20v20

4.2 Ασκήσεις

1. ϒπολογίστε την πρώτη θεμελιώδη μορφή της επιφάνειας M με παραμέτρηση X : ℝ⁺ × ℝ →M,

X (r,θ) = (rsina cos(--θ--),r sin asin (-θ--),rcosa). a sina sin a

Βρείτε την εξίσωση της μορφής f(x,y,z) = 0 που να περιγράφει την επιφάνεια αυτή.

2. ϒπολογίστε τα θεμελιώδη ποσά πρώτης τάξης των παρακάτω επιφανειών:

(1) Της σφαίρας με ακτίνα α: X(u,υ) = α(sinucosυ,sinusinυ,cosu)
(2) Του δακτυλίου: X(u,υ) = R + r cosu)cosυ,(R + r cosu)sinυ,r sinu (0 < r < R)
(3) Της ελικοειδούς: X(u,υ) = (ucosυ,usinυ,bυ)
(4) Της αλυσοειδούς: X(u,υ) = α(coshucosυ,coshusinυ,u).

3. Βρείτε μια ισομετρική παραμέτρηση (ως προς το επίπεδο) X : ℝ² → M του ορθού κυλίνδρου

M = {(x, y,z) ∈ ℝ3 : x2 + y2 = 1}.

4. Αποδείξτε ότι η παραμέτρηση του Mercator X : ℝ² → S² της σφαίρας S² με

( cosv sinv sinhu ) X (u,v) = cosh-u,cosh-u,cosh-u

είναι σύμμορφη.

5. Αποδείξτε ότι η πρώτη θεμελιώδης μορφή μιας κανονικής επιφάνειας M του ℝ³ παραμένει αναλλοίωτη κάτω απο στερεές κινήσεις

6. ΄Εστω X,Y : ℝ² → ℝ³ παραμετρήσεις δύο κανονικών επιφανειών που δίνονται ως εξής:

X(u,v) = (cosh ucosv, cosh usinv,u), Y(u,v) = (sinh ucosv,sinhu sin v,v).

ϒπολογίστε τις πρώτες θεμελιώδεις μορφές των X και Y . Στη συνέχεια, βρείτε εξισώσεις της μορφής f(x,y,z) = 0, που να περιγράφουν τις επιφάνειες αυτές.

7. ϒπολογίστε το εμβαδό του τμήματος του παραβολοειδούς εκ περιστροφής z = x² + y² με z ≤ 1 και να το συγκρίνετε με το εμβαδό του ημισφαιρίου x² + y² + z² = 1,z ≤ 0.

8. ΄Εστω M ⊂ ℝ³ μια κανονική επιφάνεια και X μια παραμέτρηση αυτής για την οποία ισχύει E = 1 και F = 0. Να αποδειχθεί ότι οι υ-παραμετρικές καιμπύλες αποκόπτουν τις u-παραμετρικές καμπύλες σε ίσα τμήματα.

9. ΄Εστω M η επιφάνεια με παραμέτρηση X : ℝ⁺ × ℝ⁺ → ℝ³, X(u,υ) = (ucosυ, usinυ,u). Αποδείξτε ότι οι παραμετρικές καμπύλες της X είναι ορθογώνιες σε κάθε σημείο.

10. ΄Εστω γ(s) μια καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας στον ℝ³ με πρώτο κάθετο διάνυσμα N(s) και δεύτερο κάθετο διάνυσμα B(s). Ο σωλήνας ακτίνας α (α > 0) γύρω από τη γ είναι η επιφάνεια που έχει παραμέτρηση

X (s,θ) = γ(s)+ α (N (s)cosθ + B (s)sin θ).

Σχεδιάστε αυτή την επιφάνεια. ϒποθέστε ότι η X είναι 1-1 και δείξτε ότι είναι κανονική επιφάνεια εάν η καμπυλότητα της γ είναι μικρότερη από

για κάθε s. Δείξτε ότι το εμβαδόν του τμήματος της επιφάνειας που δίνεται από s₀ < s < s₁, 0 < θ < 2π, όπου s₀,s₁ σταθερές, είναι 2πα(s₁ - s₀).

Βιβλιογραφία

[1] M. Abate and F. Torena, Curves and Surfaces, Springer 2012.

[2] C. Bär, Elementary Differential Geometry, Cambridge Univ. Press 2010.

[3] M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall 1976.

[4] J. Oprea, Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Assocation of America, 2007.

[5] Β. Ι. Παπαντωνίου, Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, 2013.

[6] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer 2010. Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη 2012.

Κεφάλαιο 4Η πρώτη θεμελιώδης μορφή

4.1 Λυμένα παραδείγματα

4.2 Ασκήσεις

Βιβλιογραφία

Κεφάλαιο 4
Η πρώτη θεμελιώδης μορφή